居宅のケアマネジャーを探す方法・空きがない場合の対応について

母の介護の事で相談させてください。
母は介護老人保健施設に一昨年10月から入所していましたが、4月に体調を崩し、入院中です。退院とともに施設を退所し、私の自宅で在宅介護する事を検討しています。近隣の地域包括支援センターに連絡し、ケアマネージャーに担当してくれる事業者を紹介してほしかったのですが、自分で探すように言われました。

そこで、思い当たる周辺の施設に連絡しましたが、どこも定員一杯で受け入れ可能な施設が見つかりません。

どうしたら良いのか悩んでいます。このまま、粘り強く連絡するしかないのでしょうか？
ケアマネさんを見つける方策をアドバイスしてほしいです。